林开亮：从√2是无理数引出的一个数论研究与普及故事 ———元老逝世一周年纪念
作者 | 林开亮（西北农林科技大学）
当笔者还是一名大学生时，读到王元院士写的数学家传记《华罗庚》，进一步坚定了学习研究数学的决心。博士毕业工作以后，精力逐渐转向数学普及，在《数学文化》期刊上发表了一些文章，有幸得到元老的肯定与鼓励，又坚定了从事数学普及的选择。在元老逝世一周年之际，我们这里分享一个数论研究普及的故事，以示缅怀。
数论有悠久的历史。在公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得编纂《几何原本》十三卷，其中涉及数论的有四卷，分别是第七、八、九、十卷，在第七卷有求两个正整数最大公因数的欧几里得算法、还有关于质数整除性质的欧几里得定理(若p | ab,则p | a或p | b)，第九卷有质数无穷的叙述与证明，第十卷则有是无理数的证明.参见[10]第4章。
无理数的发现(通常归功于毕达哥拉斯学派)，在整个数学史上都是光辉的一页。我们的故事也是从的无理性引出的.事实上，古希腊人对是无理数的表述，用的是几何语言，欧几里得如是说：“正方形的对角线与边长不可公度”.(欧几里得证明了更一般的结论，若n不是完全平方数，则不可公度.)它实际上等价于下述关于丢番图方程的结果：没有正整数解.在这个形式下，考虑奇偶性，用反证法很容易证明结论。20世纪著名的英国数学家G.H.Hardy写过一本著名的小册子《一个数学家的辩白》，举了两个例子以说明什么是“真正的”数学定理——即每个数学家都会承认是第一流的那些定理，这两个例子分别是质数无穷(证明归功于欧几里得)与的无理性(证明归功于毕达哥拉斯)。值得注意的是，这两个定理的经典证明，都是用反证法.它们是如此经典，几乎出现在每一本涉及数论的科普书中。
说到数学科普书，有一本是引人注目的.这就是奥地利数学家 M.Aigner 和德国数学家G.M.Ziegler 编纂的Proofs from the Book，中译本叫《数学天书中的证明》。按华东师范大学数学系詹兴致教授的建议，一个更好的译名也许是《精彩的数学证明》，这个书名的灵感源于20世纪著名的数学家P. Erdos，他一直说：“上帝有一本书，里边收录了完美的证明.”顺便提一句，元老和中科院数学所的数学史专家李文林教授曾经合译了Erdos的传记《我的大脑敞开了》。
Proofs from the Book 曾获得美国数学会2018年度的Leroy P. Steele 奖.书中分五个部分，分别是数论、几何、分析、组合和图论，汇集了历史上许多精彩的优美证明。比如组合部分，收入了Erdos本人的一个定理，Erdos-Ko-Rado定理(1938年)，其中Ko是中国数学家柯召。再如数论部分的开篇，对质数无穷，给出了六个不同的证明。这一部分也谈到了无理数，但主要是证明的无理性。实际上，从的无理性出发，也可以引出极精彩的故事。这就是我们接下来要跟诸位分享的。
1983年，正是Erdos与陈省身(与华罗庚比肩而立的中国数学家，如元老所洞察到的，陈先生对数论也情有独钟)同时获得Wolf数学奖的那一年，加拿大数学家E.J.Barbeau在美国数学协会的期刊《数学杂志》上发表了一篇文章，试图将的无理性推广。他试图回答下述问题：
问题1 设，正边形的两条不等长的广义对角线(包括边长在内)之比是否为有理数？
注意，n=5时，正五边形的对角线与边长之比恰好是黄金比例，这也许是最引人注目的一个无理数，其倒数一般称为黄金数，它与著名的斐波那契数列之间有密切的关系.华罗庚与王元的一项著名工作，本质上就是从数论的角度推广了这个密切联系并应用于数值积分，参见他们二位编写的《数学模型选谈》第五章“黄金数与数值积分”或《华罗庚》第274页“高维数值积分”.对这个问题，Barbeau只得到部分结果，利用简单的三角几何，他的问题可以描述如下：
问题 2 设正整数,,满足”.问：在满足以上条件的三元数组(；；)中，有哪些使得比值
为有理数？Barbeau证明了，(i)在的情形，比值(1)总是无理数；(ii)在且的情形，比值(1)总是无理数。
事实上，Barbeau的问题的答案，已经蕴含 在R. J. Evans 和I. M.Isaacs1977年的一篇文章里，而且等价的结果在历史上多次反复出现.我们概述如下：
定理1 (Evans-Isaacs,1977; McMullen, 2006; Lin, 2021; Vincenzi-Paolillob-Rizzo, 2021)设正整数，，满足且,则
而且此时比值. 据此可以得出，对任意的正边形()，其任意两条不等长的广义对角线之比都是无理数，唯一的例外是正6()边形中出现的比值2.这就给出了问题1的一个简单得惊人的完整回答！
定理2 (Robinson,1996；Berger,2017)设正整数，，满足且，则
定理3 (Shapiro，1984；蔡进一等，2018)设正整数满足且，则
而且此时比值.
因此，我们可以说，Barbeau的问题其实被反复解决了.不过事实上，这些作者中，只有Vincenzi-Paolillob-Rizzo 以及笔者本人了解 Bar-beau的文献.值得注意的是，这些作者除了Robinson这个唯一的例外，其他人都不是研究数论的.我们选几位介绍，分别是McMullen，Robinson 和蔡进一。
最引人注目的是C. T. McMullen，他是1998年Fields奖得主，其研究领域是复动力系统、双曲几何与Teichmüller理论.他的得意弟子Maryam Mirzakhani 是首位女性Fields奖得主(2014年)，可惜的是于2017年英年早逝.Mc-Mullen在其论文[14]中不仅证明了定理1，而且还给出以下结果：
定理4（McMullen，2006)设正整数满足且；则比值为二次无理数当且仅当取值于下表第一列(共15种可能)，而对应的比值与极小多项式分别由第二、三列给出：
由此立即可以得到Perez-Giz在2018年的一期 PBS Infinite Series中提出的一个趣味问题的答案，即下述推论：
推论5 设是正整数，则可以实现为某个正多边形的两条广义对角线之比当且仅当或.
k=1对应于黄金比，如前所述，它可以在正五边形中实现.k=2对应的比例称为白银比，可以在正八边形中实现.
接下来我们介绍一下 R. M. Robinson(1911—1995).估计大多数人都没听说过这位Robinson,但一定听过他夫人的大名：Julia Rob-inson(1919-1985). Julia 因在Hilbert第十问题方面的工作而著名，曾担任美国数学会会长，是首位当选美国科学院院士的女数学家(1975年).Julia的姐姐是C. Reid，著名的数学家传记《希尔伯特》、《库朗》、《奈曼》的作者.据她讲，正是她妹夫R. M. Robinson 1952年与D. H. Leh-mer等合作、用计算机编程测试梅森数的质性而发现新的梅森质数这一激动人心的消息，开启了她的写作生涯. Julia事实上是Robinson在伯克利加州分校数论班上的学生.Robinson在数论领域的工作我们了解甚少，[17]发表在《美国数学月刊》的问题解答专栏，也许是他生前发表的最后一篇文章，编辑赞赏它是“一篇优美的短文”，遗憾的是，《美国数学月刊》所发表的解答不是他本人的，而且看起来有问题，作为对Rob-inson介绍的收尾，我们介绍他的一项数论工作，读者从中也许可以体会到研究工作的艰辛.1962年，为庆祝G. Polya获得博士学位50周年，Robinson写了一篇有影响的文章(其续篇发表在1964年的《数学年刊》)，其中提出一个猜想：
猜想6 设m是正整数，则当，7，30时，多项式
在有理数域上不可约.
15年之后，在Madan-Pal以及 Cassels的工作的基础上，Robinson才发表文章证明了上述猜想。
最后，我们来介绍一下蔡进一等人的工作.蔡进一教授(现在美国威斯康星麦迪逊大学)及其合作者(包括付治国，现在东北师范大学)是在理论计算机领域，他们在做计数问题计算复杂性分类时遇到这个问题.据付治国教授讲，他们经常要考虑矩阵特征值是不是单位根的问题，而在其文章中就需要一个整性独立条件.估计正是这个需求，导致数论出身的K. Girstmair加入蔡进一等人的合作.不过，遗憾的是，文中给出的证明过于复杂.然而，文中介绍了更一般的线性无关问题，对于热衷数论的朋友，倒是值得了解.例如，其中一个著名的公开问题，是Chowla-Milnor猜想.它是由当代著名数学家J.Milnor在1983年提出的.也许你会觉得奇怪，以几何拓扑工作闻名的Milnor，何以会提出一个关于数论的猜想？这也许仅仅是“数学只有一个连通分支”的强有力的证据.顺便说一句，据J.Simons讲，他当初之所以离开数学下海经商，就是因为想证明从几何上出来的一个数是无理数的某个难题挫败了他.
笔者之所以会考虑这个问题，纯属偶然.2020年秋季学期，为本校2020级数学系新生准备“新生研讨课”时，笔者偶然(独立于Barbeau)想到问题1(这与我在数学史方面的兴趣密不可分)。原本是作为例子在第一堂课分享给大一新生，旨在启发学生发散思维，主动提问.两个月以后，笔者一时兴起，捡起这个问题，开展研究.在师友的指导激励下，最终解决了这一问题，后来查阅文献，才了解到这一结果(定理1)不是新的，而且与之等价的结果(定理2，定理3)也多次出现.当时笔者偶然得知，恰逢中科大数学院期刊《蛙鸣》复刊，于是将这一成果写成综述投稿.回顾起来，文中有两个关键结果是值得了解的，介绍如下：
引理7 设,在Q上共轭，即它们满足同一个不可约有理多项式方程，且.则
它是[11，p. 63]定理5.5，其特例(该多项式为奇数次的情况)曾出现于文献，见[24]例30.由引理1，立即可以证明在最特殊的情况下，比值(1)是无理数，若要完成一般情况下定理2的证明，则需要关于余弦乘积的一个基本结果，如下：
定理8
它恰好出现在Robinson的文章[16]，并且其精细版本后来又被多次发现，如[7]，对照[11，p. 60]定理3.10.
回到Barbeau1983年的文章，他虽然没有完全解决这个问题，但是建议了一条途径，包括计算比值(1)在有理数域上的次数与极小多项式.笔者在[12]中考虑了这一问题，得到了部分结果(次数问题限于的情况，极小多项式有一般算法)；并指出，如果以下猜想成立，那么次数问题在6 | n的情况，也可以同理解决。
猜想9设n是正整数，整数，满足且.
若
则 (2)
[12]中已经证明，当时，猜想成立；这里把6 | n的情况留给有兴趣的读者.《蛙鸣》期刊对此猜想还设置了悬赏征解，期待大家一起续写美妙的数学故事。
致谢
本文基于作者在湘潭大学和北京师范大学所作的报告“从谈起：正多边形对角线比值的无理性”以及在中科大数学院《蛙鸣》期刊发表的文章.感谢湘潭大学易年余教授、北京师范大学李建华教授、首都师范大学李克正教授、山东大学李良攀教授、许光午教授、华东师范大学詹兴致教授、美国威斯康星麦迪逊大学蔡进一教授、东北师范大学付治国教授、新加坡国立大学曾衡发教授、台湾交通大学吴培元教授、河南大学黎景辉教授、南京大学朱富海教授、天津大学戴伍圣教授、刘云朋博士、西安电子科技大学张哲博士、中国传媒大学陈见柯博士、中央民族大学王兢博士、中国矿业大学(北京)张汉雄博士、北京市朝阳区教研中心张浩博士、吴帆老师等诸多学友与笔者讨论交流！
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